Hogyan nyerj pénzt a haverjaidtól egy matematikai paradoxon segítségével?

Hogyan nyerj pénzt a haverjaidtól egy matematikai paradoxon segítségével? 0001

Ma találtam rá egy 2008-as cikksorozatomra, amelyben a egyes játékelméleti példák pókeres relevanciája volt a vezérfonal. Úgy döntöttem kiválasztok egy számomra kedveset, és talán kevésbé ismertet, mint a klasszikus Monty Hall paradoxon, hátha más is érdekesnek találja majd. Ennek neve: Bertrand doboz paradoxon.

A Bertrand doboz paradoxon elméleti háttere egyébként nagyon hasonló Monthy Hall probléma alapvetéséhez, és gyakorlati jelentősége is legalább olyan egyértelmű.

Az érdekes felvetés először Joseph Bertrand, az Esélyek számítása (Calcul des probabilités) című, 1889-es munkájában bukkan fel, melyben a matematikai összefüggést különböző dobozokon és pénzérméken keresztül illusztrálja. A problémát ugyan számos ettől különböző példával leképezték azóta, a valószínűség-számításokkal foglalkozó szakirodalomba az eredeti elképzelés alapján vonult be.

Bertrand doboz paradoxonjának a lényege, hogy az egyik fél józan ésszel tisztességesnek tűnő, ám a számított valószínűségek alapján egyértelműen kedvezőtlen fogadási szituációba kényszeríti a másikat. Lássuk hogyan!

Dobozok és pénzérmék

A kezdeményező először is felállít három dobozt. Majd ezüst- és aranyszínű pénzérméket vesz elő. Az egyik dobozba két ezüst-, a másikba két arany-, a harmadikba egy ezüst- és egy aranyszínű érmét helyez. Így mindhárom dobozban két-két érme lesz, nevezzük őket az egyszerűség kedvéért arany (A) vegyes (B) és ezüst (C) dobozoknak!

Ezután a kezdeményező megkéri a játékost, hogy húzzon egy érmét valamelyik dobozból! Itt, a Monty Hall problémával ellentétben, a kezdeményező (ott műsorvezető) nem kell, hogy ismerje a dobozok tartalmát, a példa mindössze a józan ész helytelen ítélőképességére alapoz.

A játékos kihúz egy érmét. Az elsőre jól látszik, hogy a játékosnak 50-50 százalék esélye van, hogy arany- vagy ezüstszínűt húz. Ezért a játék kétféleképpen folytatódhat. Ha aranyszínű érme kerül elő, a kezdeményező fogadást ajánl a játékos számára:

-Fogadjunk, hogy a másik érme is aranyszínű abban a dobozban, amiből ezt húztad!

Ha ezüstszínűt húz, akkor ugyanezt ezüstszínűvel ajánlja fel, a lényeg, hogy mindig a húzott érmével azonos színű eredményre fogad.

A józan ész buktatója

A játékos, ha éppen nem gondol kellően utána, könnyen így okoskodhat: 50 százalék esélyem volt rá, hogy ilyet húzok, ezért most is ennyit kapok a győzelemre, sőt! Mivel egy - teszem azt - aranyszínűt már kihúztam, ellenfelemnek még kevesebb esélye lesz, hogy ráhibázzon!

Ez az egyik fajta hibás gondolkodás. A másik jóval gyakoribb, a Monty Hall-hoz hasonló, egyszerűsítés, amelyben a játékos a következőképpen értelmezi a helyzetet: Vagy az aranyszínűből, vagy a vegyesből húztam aranyszínűt, 50-50 százalék. Vagyis a játékos a mostani döntési szituációt, új helyzetként éli meg, és ennek alapján - szűken értelmezve a lehetőségeit - az ezüstszínű (C) dobozt figyelmen kívül hagyva, a másik kettőre koncentrál és így 50 százalékban állapítja meg esélyeit.

A józan ész hajlamos az aktuális lehetőségekhez mérten újra és újra kiértékelni egy-egy szituációt. Ez egy hasznos, gyakorlatias képesség a mindennapokban, de a matematikai jellegű döntések esetén hibás eredményre vezet. A kezdeti esélyek ugyanis nem változnak azáltal, hogy megismertük az ismeretlenek valamelyikét!

Hogy is van ez?

Fogalmazzuk meg ezt egyszerűbben a számok nyelvén, konkrét példán keresztül! Tegyük fel, hogy egy aranyszínű érmét húzunk! A kezdeményező felajánlja, hogy fogadjunk vele! Szerinte a dobozban lévő másik érme is aranyszínű. Vagyis, mi akkor nyerünk, ha a másik ezüstszínű. A fogadás egy az egyhez történik, ezért legalább 50 százalék esélyünk kellene, hogy legyen, hogy ne negatív elvárt eredményre számítsunk hosszú távon. Nézzük meg mennyi a valódi matematikai esélyünk rá, hogy a másik ezüst színű legyen!

A válasz, hogy mindössze 33,3 százalék. Aranyszínű érmét ugyanis háromféleképpen húzhattunk: egyet a vegyes dobozból és kettőt az aranyszínű dobozból. Vagyis az esetek kétharmadában az aranyszínű dobozból húzunk aranyszínűt, ezért ha álljuk a fogadást, ellenfelünk három alkalomból kétszer nyerni fog ellenünk. Fordítva ugyanez a helyzet.

Hogyan nyerj pénzt a haverjaidtól egy matematikai paradoxon segítségével? 101

A példa tanulsága tehát ez esetben sem más, minthogy a kezdeti esélyeket soha nem szabad figyelmen kívül hagyni. Az olyan kombinált valószínűség-számításoknak, amelyeket például egy pókerjátszma során szinte állandóan, rutinszerűen végzünk a kulcspontja éppen az, hogy az adott döntési szituációt ne pusztán a látszólag éppen releváns információk alapján, hanem minden egyéb rendelkezésünkre álló információ számbavételével mérlegeljük.

Hogy jön ez a pókerhez?

A válasz egyszerű, gondoljunk csak arra, mit teszünk akkor, ha például éppen kártyáink javulási potenciáját számoljuk! A kérdéses értéket nem a pakliban lévő, még leosztható lapok alapján, hanem az összes számunkra ismeretlen kártya alapján számolhatjuk ki helyesen.

Egy nyolc fős hold’em játszmában, a flop után például nem a pakliban maradt (teljes pakli mínusz osztott lapok, mínusz flop: 52-(8*2)-3 ) alapján meghatározható 35 kártyától, hanem az összes ismeretlen laptól (52-5), vagyis 47-től várjuk a segítséget! Hiába kaphatunk tehát a valóságban 35 kártya közül, csúnyán túlértékelnénk nyerési esélyeinket, ha ezekre levetítve hoznánk meg döntésünket, és hirtelen vesztes partik tömegében találnánk magunkat.

A valószínűségekkel kapcsolatos döntési helyzetekben mindig lépjünk hátra, és ne hagyjuk, hogy csak a konkrét szituáció elemei határozzák meg érvelésünk menetét! Az ilyen gyakorlatias szemlélet ugyanis könnyedén kihasználható. Aki nem hiszi, próbálja ki a fenti példát az ismerősein, és hamar ki fog derülni: a józan ész néha rossz tanácsadó!

TOVÁBBI CIKKEK

Other Stories