Matekóra: Hogyan alkalmazhatod a Bayes-tételt a pókerasztalnál?

Matekóra Bayes-tétel

Matekóra sorozatunkban jellemzően olyan játékelméleti példákat és elméleteket vizsgálunk meg, amelyeknek van némi pókeres relevanciája.

Ezúttal az úgynevezett Bayes-tétellel fogunk foglalkozni, amely kifejezetten praktikus új szemléletmóddal gazdagíthatja játékunkat.

Mi is az a Bayes-tétel?

A hivatalos definíció szerint, a Bayes-tétel a valószínűségszámításban egy feltételes valószínűség és a fordítottja között állít fel kapcsolatot. Nézzük meg mit jelent ez, egy közérthető példán!

Példa

  • Tegyük fel, hogy létezik egy nem fertőző, tünet nélküli betegség!
  • 100 emberből 1 ezzel a betegséggel születik.
  • A betegség kimutatására használt teszt 95%-os pontosságú.
  • 10.000 embert tesztelnek egy szűrővizsgálaton, amelyen Te is részt veszel.
  • A teszt eredménye pozitív, úgy tűnik Te is ezzel a betegséggel születtél.

A kérdés: mi a valószínűsége annak, hogy valóban beteg vagy?

Levezetés

A legtöbb ember általában úgy gondolkodik, ennek esélye 95 százalék. Pedig a valószínűségszámítás szabályai szerint, ennek esélye jóval csekélyebb. Nézzük meg miért!

  • 10.000 embert teszteltek, akik közül 100 ember beteg, 9.900 nem. (100:1-hez arány)
  • A 100 beteg emberből 95-nek lesz pozitív eredményű a tesztje. (95%-os pontosság)
  • A 9.900 egészséges emberből 495-nek lesz pozitív eredményű a tesztje. (95%-os pontosság)
  • Vagyis összesen 590 pozitív tesztünk van 95 valóban beteg emberre, és van 5 beteg emberünk negatív teszttel.
  • Tehát az 590 pozitív tesztű emberből csak 95-en valóban betegek.
  • A teszt 95%-os pontosságú, vagyis annak valószínűsége, hogy Te beteg vagy 16%. (95/590=0,161)

A 95% és a 16% közti óriási eltérés oka a betegség ritkasága. Hiszen 100 emberből csak 1 beteg, viszont 100 tesztből 5 mutat hamis eredményt. Vagyis annak esélye nagyobb, hogy hamis eredményt kapsz, mint annak, hogy valóban beteg vagy.

A vonatkozó képlet P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B) , de a könnyebb érthetőség kedvéért megpróbáltam ábrázolni is a dolgot:

Ábra a példához
Ábra a példához

De mi ennek az értelme, azon túl, hogy ne aggódj, ha egy 95%-os pontosságú teszttel diagnosztizálnak, egy ennél ritkábban előforduló betegséggel?

Bayes tétel a pókerasztalnál

Vegyük azt a példát, hogy:

  • Egy leosztásban egyetlen ellenféllel nézünk szemben river után.
  • A kasszában jelenleg $800 van.
  • Ellenfelünk $500-al all-int jelent.
  • Az asztalon az utolsó kártyával flush veszély alakult ki.
  • Nekünk top párunk, top kickerünk van, de gyakorlatilag csak blöfföket vernénk.
  • Egyéb információnk nincs a játékosról.

A kérdés: tartsuk-e ellenfelünk all-injét?

Mi alapján fogunk dönteni?

Ellenfelünk laptartománya polarizált. Vagyis feltételezzük róla, hogy értékért itt kizárólag flush-el hívna, minden más blöffbe fordított kezét pedig vernénk legmagasabb párunkkal.

A pot-oddsunk (500/800=0,625) alapján nagyjából 28 százalékban kellene nyernünk a megadással ahhoz, hogy ez egy hosszútávon kifizetődő call legyen. A fenti feltételezések alapján, ez azt jelenti, hogy ha ellenfelelünk az esetek 28%-ban blöfföl ebben a szituációban, akkor tartunk. Ha nem, akkor dobunk.

Hogy néz ki ellenfelünk range-je?

Ahhoz, hogy ezt eldöntsük, próbáljuk meg felvázolni, hogyan alakulhatott ellenfelünk range-je!

  • Az egyszerű számolás kedvéért tegyük fel, hogy a parti menete alapján nagyjából 100 kombinációt tudunk elképzelni, amivel riverig juthatott.
  • Ebből 20 tartalmaz flush-öket, amik mindegyikével hívna.
  • 30 olyan erős párokat és két párokat, amelyek nem hívnának értékért a színveszély miatt, de nem is blöffölnének.
  • A maradék 50 kombinációval elképzelhető, hogy a stackjéhez képest magas kasszát és a koordinált boardot látva blöffre szánná magát.

Mekkora blöff-hajlandóságra van szükségünk?

Mivel 20 kézzel biztosan hív, ahhoz, hogy meglegyen a megadáshoz szükséges 28%-os nyerési esélyünk ellenfelünknek még további 8 lappal kellene blöffölnie. Hiszen 8/28=0,285. Másképpen: ha 8 lapot verünk 28-ból, akkor már éppen megvan a 28%-os esélyünk.

A kérdés tehát az, fog-e az 50 blöffre alkalmas kézből 8-al legalább blöffölni? Másképpen: meg fogja-e próbálni a blöffre alkalmas kezeinek legalább 16%-val a kassza ellopását?

Erre nyilván már nem a számok, hanem a mi józan belátásunk és readünk fogja megadni a választ, de egy viszonyítási alap óriási segítség lehet. Ha például a preflop és flop játék alapján ászt teszünk a kezébe, akár máris van 25%-unk arra, hogy nála van a megfelelő színű ász, amivel adja magát a blöff egy ilyen helyzetben. Vagyis hosszútávon kifizetődően tarthatunk.

Összegzés

Természetesen a fenti példa távol van az életszerűtől, és számos tényezőt nem vesz figyelembe, ami egy leosztás értékelésekor szükséges. De a Bayes-tétel nem is a végleges döntésben, hanem a helyes kérdésfeltevésben nyújt segítséget.

Nem az a kérdés ugyanis, hogy ellenfelünk éppen blöfföl-e vagy sem! Hanem, hogy a pot-oddsunkhoz mérten elég gyakran blöfföl-e a polarizált range-je blöffre alkalmas kombinációi közül ahhoz, hogy megérje a call.

Még olvasnék ilyeneket

TOVÁBBI CIKKEK

Mi a véleményed?